Problema: ¿Un número cualquiera es igual a su consecutivo?

Seguramente han leído alguna vez una variante de este problema, si, que la división por cero no se puede hacer. Sin embargo en esta variante ese caso no se da.
Supongamos que plantemos que:
n + 1 = n
Siendo n un número entero. Pero esto no es cierto de echo:
n + 1 ≠ n
Pero ahora, plateamos esto:
(n + 1)2 = n2 + 2n + 1
Hasta el momento todo normal, despejamos n2:
(n + 1)2 − (2n + 1) = n2
Bien! sigamos. Restamos a ambos miembros n(2n + 1):
(n + 1)2 − (2n + 1) − n(2n + 1) = n2 − n(2n + 1)
Del lado izquierdo podemos sacar factor común (2n + 1):
(n + 1)2 − (2n + 1)(n + 1) = n2 − n(2n + 1)
Ahora, sumamos a ambos miembros ((1)/(4))(2n + 1)2:
(1) (n + 1)2 − (2n + 1)(n + 1) + ((1)/(4))(2n + 1)2 = n2 − n(2n + 1) + ((1)/(4))(2n + 1)2
Recordando un poco: 

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Utilizamos esto para poder escribir el lado izquierdo de la ecuación 1↑ de esta forma:
[(n + 1) − ((1)/(2))(2n + 1)]2
Aplicando el mismo razonamiento podemos escribir el lado derecho de la ecuación 1↑ como:
[n − ((1)/(2))(2n + 1)]2
Volvamos a escribir la igualdad:
[(n + 1) − ((1)/(2))(2n + 1)]2 = [n − ((1)/(2))(2n + 1)]2
Eliminamos al operación común a cada lado de la igualdad:
(n + 1) − ((1)/(2))(2n + 1) = n − ((1)/(2))(2n + 1)
Sumamos ((1)/(2))(2n + 1) a cada lado, por lo que nos queda:
n + 1 = n
Bueno, sólo resta invitar a resolver el problema, puesto que hay dos posibles situaciones. En la primera aceptamos el echo que cualquier número es su consecutivo… ó navegamos por los pasos anteriores hasta encontrar el error.
¿Me pueden ayudar a descifrar cúal es el error en los pasos?
Saludos.
P.D.: Esto problema es también extraído de los que leí en el libro de Adrían Paenza. Sólo contiene un agregado para hacerlo más sencillo. En el post anterior hay más información del libro.

4 thoughts on “Problema: ¿Un número cualquiera es igual a su consecutivo?

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